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矩阵的初等变换与线性方程组  

2013-04-16 15:07:11|  分类: 考研数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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定义1 下面三种变换称为矩阵的初等变换(矩阵的初等行变换与初等列变换统称矩阵的初等变换):
1.对调两行或两列(记作ri<---> rj或ci <--->cj);

2.以数k0乘某行或某列中的所有元素(记作rik或cik);

3.把某行或某列的所有元素的k倍加到另一行或另一列对应的元素上去(记作ri+krj或ci+kcj)。

 
定义2 如果矩阵Α经有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵Α与B行等价;如果矩阵Α经有限次初等列变换变成矩阵B,就称矩阵Α与B列等价;如果矩阵Α经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵Α与B等价,记作Α~B。矩阵之间的等价具有下列性质:

1.反身性:Α~Α;

2.对称性:若Α~B,则B~Α;

3.传递性:若Α~B,B~C,则Α~C。

结论1 行阶梯形矩阵的特点是:可画出一条阶梯线,线的下方全为0;每个台阶只有一行,台阶数即时非零行的行数,阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元。行最简形矩阵的特点是:非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为0。对于任何矩阵Αmn,总可经过有限次初等变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。


定义3 对行最简形矩阵再施以初等列变换,可变成一种形状更简单的矩阵,称为标准形。标准形的特点是:矩阵的左上角是一个单位阵,其余元素全为0。对于mn矩阵Α,总可经过初等变换把它变成标准形。

定理1 设Α与B为mn矩阵,那么

1.矩阵Α与B行等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P,使PΑ=B;

2.矩阵Α与B列等价的充要条件是存在n阶可逆矩阵Q,使ΑQ=B;

3.矩阵Α与B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使PΑQ=B。

 
定义4 由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

1.把单位阵中的第i,j两行对调(或第i,j两列对调),得初等矩阵E(i,j)

    以Em(i,j)左乘矩阵Αmn,其结果相当于把的第i行和第j行对调(ri <--->rj);以En(i,j)右乘矩阵Αmn,其结果相当于把的第i行和第j行对调(ci <---> cj);

2.以数k0乘单位阵的第i行(第i列),得初等矩阵E(i(k))

    以Em(i(k))左乘矩阵Αmn,其结果相当于以数k乘Α的第i行(rik),以En(i(k))右乘矩阵Αmn,其结果相当于以数k乘Α的第i列(cik);

3.以k乘单位阵的第j行加到第i行上或以k乘单位阵的第j列加到第i列上,得初等矩阵E(ij(k))

    以Em(ij(k))左乘矩阵Αmn,其结果相当于把Α的第j行乘k加到第i行上(ri+k rj),以En(ij(k))右乘矩阵

Αmn,其结果相当于把Α的第j列乘k加到第i列上(ci+kcj)。

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